6月是高考季，也是毕业季。在这个仲夏之际日升策略，高考考生通过填报志愿选择将要入读的专业，高校毕业生（从本科生到硕博士研究生）通过投递简历向招聘者介绍所修专业，以及所掌握的专业知识和技能。
什么是专业，或者说一门学科是什么？
在19世纪末20世纪初，现代意义上的诸多学科纷纷诞生，知识的古典时期也就此结束。研究对象、方法论和基本假设得到重新界定。自此，专业化成为诸学科最显著的特征之一。让学生接受一门学科的专业训练，以一技之长谋生成为高校培养学生的基本内容。我们可以说，每一门学科都提供了专业的知识和技能。我们也可以说，每一门学科都提供了一种看世界的方法，它们塑造了我们的知识结构，也可能改变了我们的认知视角。其发生的具体过程，当然因学科因个人而异。
这些年，从校园、劳动力市场到各大网络平台，大家都在热议什么专业冷门、什么专业有前景。在图书市场上，并不乏志愿填报指南，以及各个学科的入门书籍。我们希望提供一种超越基础介绍的、更富有情感的学科叙事，也希望借此呈现出关于学科教育的多元认知方式。
我们策划“我和我的学科”专题，第一期由文学、数学、历史学、社会学、管理学等学科的高校教师，以第一人称讲述“我和我的学科”。他们既谈这个学科是什么，也谈自己作为一个个体与学科的关系，当然也包括他们在教学中产生的对于本学科过去与未来的思考。
展开剩余93%本篇为数学家丘成桐谈他的数学之路，以及他心中数学的最高目标。
本文内容出自新京报·书评周刊6月20日专题《我和我的学科》的B04-B05版。
B01「主题」我和我的学科
B02-B03「主题」汉语言文学 相信同道与先贤
B 04-B05「主题」数学 最高目标无过于追求真与美
B06-B07「主题」历史学 立足过去，面向未来
B08-B09「主题」社会学 开启“社会”之门的钥匙
B10-B11「主题」管理学 探求众人之事与公共议题的奥妙
B12「文学」《夜雨修书》“今夜细雨如织，我正好给你复信”
撰文丨丘成桐
从古希腊几何到现代数论，数学不只是一种精密的工具，更体现了人类对真与美的不懈追求。在数学家丘成桐看来，真正伟大的科学进步是由宏观视角驱动的，数学并非一门孤立的学科，而是一项与更宏大的哲学框架密不可分的探索。阿基米德、牛顿、费马、高斯、黎曼、麦克斯韦、爱因斯坦，这些卓越不凡的数学家也是人类历史上最深邃的思想者。
在本文中，丘成桐从自己的成长经历谈起，分享了自己对数学这门学科的看法以及做学问的人生感悟。
丘成桐。当代具有影响力的数学家之一，哈佛大学教授、清华大学教授，北京雁栖湖应用数学研究院院长。美国国家科学院院士、美国艺术与科学院院士、中国科学院外籍院士。荣获菲尔兹奖、沃尔夫奖、克拉福德奖、美国国家科学奖、马塞尔·格罗斯曼奖、中华人民共和国国际科学技术合作奖等大奖。他成功解决了许多著名的数学难题，其研究深刻变革并极大扩展了偏微分方程在微分几何中的作用，影响遍及拓扑学、代数几何、广义相对论等数学和物理领域。
我的数学之路
我在中国香港的郊区——元朗和沙田——长大。那里没有电，也没有自来水。小时候，我就在河中洗澡。我的家中有8个兄弟姐妹，食物少得可怜。5岁时，我参加某著名小学的入学试，结果没有考上，原因是用了错误的记号，如把57反写成75，把69反写成96等。
我只能上一所小小的乡村学校。那里有很多来自农村的粗野小孩。受这些小孩的威吓，加上老师处理不善，不到一年，我便身患重病。在家中养病的半年里，我思索着如何跟同学和老师相处。升上小六时，我已经是一群小孩的首领，带着他们在街头乱闯。
家父是一位教授。他教了我不少中国文学。可是，他并不知道我曾旷课好一段日子（或者这是因为我在家中循规蹈矩，他教授的诗词我也能倒背如流吧）。逃学的原因是老师不怎么教学，我在学校闷得发慌，不久连上街也觉得无聊了。当时，香港有统一的升中试。我考得并不好，但幸好分数落在分界线上。
港英政府允许这些分数落在分界线上的学生申请私立中学，并提供学费。我进入了培正中学。培正是一所很好的中学。我中学生涯的第一年乏善可陈。我的成绩不大好，老师常常对我很生气。大概我刚从乡村出来，“野性”未改吧。我热衷于养蚕，养小鱼，到山上去捉各种小动物。沙田的风景美丽清新，在大自然的怀抱里，倒是自得其趣，我到如今还不能忘怀。
在培正的第二年，我多言多动，老师要记我小过。她是我的班主任，责任心强，诚然是为我好。当她知道家父是位教授，却拿着微薄的薪酬后，大为震动。此后，在她的悉心栽培下，我在课堂上规矩多了。就在这一年，我们开始学习平面几何。
同学们对抽象思维都不习惯。由于在家中时常听父亲谈论哲学，对利用公理进行推导的做法，我一点也不觉得陌生。学习几何后，我对父亲的讲话又多明白了几分。利用简单的公理，却能推导出美妙的定理，这实在令人神往。
对几何的狂热日升策略，提高了我对数学（包括代数）的鉴赏能力。当你喜欢某科目时，所有与之有关的东西都会变得浅易。我对历史也甚有兴趣。它培养我对事物要整体观看，不断思考事件是如何发生的，到底是什么缘故，以及将来会如何。
《我的教育观》
作者：（美）丘成桐
版本：中信出版社2025年2月
就在这时，父亲完成了他的《西洋哲学史》。他跟学生谈话，总是说应整体地去看历史。这种观念深深地影响了我。这种想法，在往后的日子中，指引我去寻找研究项目。父亲的书对我有很深的影响。书中第一页的引言《文心雕龙·诸子篇》中说：
身与时舛，志共道申，标心于万古之上，而送怀于千载之下。
这是何等的胸襟，与古人神交，而能送怀于后世，确实是一位学者应有的态度。
哲学史的目的有三：一曰求因，哲学思潮其源甚多，必先上溯以求之；二曰明变，往昔哲学思想交缠纠绪，故重理其脉络，是为要务；三曰评论，所有思潮及其流派，皆一一评论，作警策精辟之言。这三点和自然科学的研究有密切的关系，再加上创新，便可以概括为研究的方法了。
我14岁时，父亲去世了。这或许是我一生中最大的打击。在一段颇长的日子里，对父亲离开了我和家人的事实，我都难以置信。家中经济顿入困境，我们面临辍学。幸得母亲苦心操持，以及先父旧交弟子的援手，我们才幸免沦落。
家中剧变，令我更加成熟坚强。困境中人情冷暖，父亲生前的教导，竟变得真实起来。以前诵读的诗词古文，有了进一步的体会。我花了整整半年，研习古典文学和中国历史，借此抚平绷紧的心弦。典丽的诗词教人欣赏自然之美，排除了世俗功利的思想。
我阅读了大量数学书，并考虑书中的难题。当这些难题都解决以后，我开始创造自己认为有挑战性的题目。此后，由个人去创造问题变成我研究事业中最关键的环节。学校的课本已经不能满足我的需求了。我跑到图书馆、书店去看书。我花了许多时间打书钉，阅读那些买不起的书。我读了华罗庚先生写的很多参考书，无论是在分析还是在数论上的讨论，它们都漂亮极了。我也看了很多帮助课堂解题的书，例如陈明哲写的一些小册子。一般来说，我会比课程早一个学期做完所有的习题，所以听数学课是一种享受。
从15岁起，我开始给低年级学生当家教，以帮补家计。我找到一些巧妙的方法，使成绩落后的孩子摇身变成优等生，为此我有点飘飘然。我积累了教导年轻人的经验，同时也体会到教学相长的道理。
我们的数学老师十分好。他教授的内容比课程要求的更加艰深，但我觉得丝毫不费气力，其实我的同学们虽然叫苦，但总的来说，数学都不错，这叫作“取法乎上，仅得其中”。近代数学的教学方法，恐怕适得其反，“取法乎中，仅得其下”。
当时我们的物理老师不太行，学生们对此不无失望。中学时养成不了物理上的基本直观，至今于心还有戚戚焉。中文老师却是无懈可击。他是我的父执辈。他教导我们思想要不落俗套。
中文老师说，思维要自出机杼，读好书之余，烂书也无妨一读，以资比较。因此我什么书都啃，他的这种观点，就是放诸我日后的科学生涯中，也有其可取之处。中文老师问的问题很有意思，他出过一个作文题叫“猪的哲学观”。于是大伙儿兴高采烈，自由发挥。在班里，我并非名列前茅，数学科的等级也不见得最高。但我比同班诸子想得更深，书也读得更多。
1966年，我进入香港中文大学。虽然对历史抱着浓厚的兴趣，但我还是选择了数学作为我的事业。
就在这时，中学时念的高等数学渐渐消化。刚开始时，我还不大懂，但后来一下子全都懂了。我比班中同辈高明不少。
大学的数学使我大开眼界。连最基本的实数系统都可以严格地建立起来，这着实令人兴奋万分。当我了解数学是如此建构后，就写信给教授，表达我的喜悦之情。这是本人赏析数学之始。
一位刚从加州大学伯克利分校（UCB）毕业的博士来了香港，他名叫斯蒂芬·萨拉夫（Ste⁃phen Salaff）。他对我大为赞赏，我们合写了一本有关常微分方程的书。
另外一位老师布罗迪（Bro⁃dy）来自普林斯顿，他有一套独特的教学法。他找来一本高深的数学著作，然后要求学生在书中找寻错误，并提出改正的方法。这是让我们不要盲目依赖书本的良方，同时也训练了我对书本上的定理采取存疑的态度。我有时将某些定理推广，并在课堂上说出自己的想法，他听了很高兴。
这些教导的重要性在于：培养独立思考的习惯；在人前表达数学的时候，找出自己的弱点，与同学和老师一同切磋。这不论对我当下做学问还是对我日后的教学都十分重要。
数学的内容、方法和意义
接下来谈的是数学的内容、方法和意义。历代不少科学家对数学都有极高的评价，我们引一些物理学家的话作为例子。费曼在《物理定律的本性》一书中说：“我们所有的定律，每一条都由深奥的数学中的纯数学来叙述，为什么？我一点也不知道。”维格纳说“：数学在自然科学中有不合常理的威力。”戴森说：“物理科学史历劫不变的一项因素，就是由数学想象力得来的关键贡献。基础物理既然由高深的数学来表示，应用物理、流体等自然界的一切现象，只要能得到成熟的了解，都可以用数学来描述。”写过《瓦尔登湖》的哲人梭罗也说，有关真理最明晰、最美丽的陈述，最终必以数学形式展现。
其实数学家不仅从自然界中吸收养分，而且从社会科学和工程中得到启示。人类心灵中由现象界启示而呈现美的概论，只要能够用严谨逻辑来处理的，都是数学家研究的对象。数学和其他科学的不同之处是容许抽象，只要是美丽的，就足以主宰一切。数学和文学的不同之处是一切命题都可以由公认的少数公理推出。数学正式成为系统性的科学始于古希腊的欧几里得，他的《几何原本》是不朽的名作。明末利玛窦和徐光启把它译成中文，并指出：“十三卷中五百余题，一脉贯通，卷与卷，题与题相结倚，一先不可后，一后不可先，累累交承，渐次积累，终竟乃发奥微之义。”复杂深奥的定理都可以由少数简明的公理推导，至此真与美得到确定的意义，水乳交融，再难分开。值得指出的是，欧几里得式的数学思维直接影响了牛顿在物理上三大定律的想法，牛顿的巨著《自然哲学的数学原理》与《几何原本》一脉相承。从爱因斯坦到现在的物理学家都希望完成统一场论，能用同一种原理来解释宇宙间的一切力场。
《几何原本》中文印刷版。
数学的真与美，数学家体会深刻。西尔维斯特说：“它们揭露或阐明的概念世界、它们导致的对至美与秩序的沉思、它们各部分的和谐关联，都是人类眼中数学最坚实的根基。”数学史家莫里斯·克莱因说：“一个精彩巧妙的证明，精神上近乎一首诗。”当数学家吸收了自然科学的精华，就用美和逻辑来引导，将想象力发挥得淋漓尽致，创造出连作者也惊叹不已的命题。大数学家往往有宏伟的构思，由美做引导，例如韦伊猜想促成了重整算数几何的庞大计划，将拓扑和代数几何融入整数方程论。由格罗滕迪克和德利涅完成的韦伊猜想，可以说是抽象方法的伟大胜利。回顾数学的历史，能够将几个不同的重要观念自然融合而得出的结果，都成为数学发展的里程碑。爱因斯坦将时间和空间的观念融合，成为近百年来物理学的基石；三年前，安德鲁·怀尔斯（A.Wiles）对自守形式和费马大定理的研究，更是动人心魄。数学家不依赖自然科学的启示而得出来的成就，令人惊异，这是因为数字和空间本身就是大自然的一部分，它们的结构也是宇宙结构的一部分。然而，我们必须谨记，大自然的奥秘深不可测，不仅仅是数字和空间而已，它的完美无处不在，数学家不能也不应该抗拒这种美。
捷克于2000年发行的纪念怀尔斯证明费马大定理的邮票。
20世纪物理学中的两个最主要的发现——相对论和量子力学——对数学造成了极大的冲击。广义相对论使微分几何学“言之有物”，黎曼几何不再是抽象的纸上谈兵。量子场论从一开始就让数学家迷惑不已，它在数学上的作用仿若魔术。例如，狄拉克方程在几何上的应用令人难以捉摸，然而，它又这么强而有力地影响着几何的发展。超对称是最近20年物理学家发展出来的观念，无论是在实验还是理论上都颇为神秘，但借助超弦理论，数学家竟解决了一百多年来悬而未决的难题。超弦理论在数学上的真实性是无可置疑的，除非造化弄人，它在物理上也终会占一席位。
19世纪末数学公理化运动使数学的严格性坚如磐石，数学家便以为工具已备，以后的工作将无往而不利。20世纪初，希尔伯特以为任何数学都能用一套完整的公理推导出所有的命题。但好景不长，哥德尔在1931年发表了著名论文《数学原理中的形式上不可断定的命题及有关系统》，证明包含通常逻辑和数论的一个系统的无矛盾性是不能确立的。这表示希尔伯特的想法并非全面的，也表示科学不可能是万能的。然而，由自然界产生的问题，我们还是相信希尔伯特的想法是基本正确的。
数学家因其禀赋各异，大致可分为下列三类：
一、创造理论的数学家。这些数学家工作的模式，又可粗分为七类。1.从芸芸现象中窥见共性，从而提炼出一套理论，能系统地解释很多类似的问题。2.把现存理论推广或移植到其他结构上。3.用比较方法寻求不同学科的共同之处而发展新的成果。4.为解释新的数学现象而发展理论。5.为解决重要问题而发展理论。6.新的定理被证明后，需要建立更深入的理论。7.在研究对象上赋予新的结构。
二、从现象中找寻规律的数学家。这些数学家或从事数据实验，或在自然和社会现象中发掘值得研究的问题，凭着经验把其中精要抽出来，做有意义的猜想。
三、解决难题的数学家。所有数学理论必须能导致某些重要问题的解决，否则这些理论便是空虚、无价值的。理论的重要性必须与其能解决问题的重要性成正比。
数学家要承先启后，解决难题是“承先”，进一步发展理论、找寻新的问题则是“启后”。没有新的问题，数学便会死去。故此，“启后”是我们数学家共同的使命。我们的最终目标是以数学为基础，将整个自然科学、社会科学和工程学融合起来。
自从安德鲁·怀尔斯1994年证明了费马大定理后，很多人都问这有什么用。大家都觉得费马大定理的证明是划时代的。它不仅解决了一个长达350年的问题，还使我们对有理数域上的椭圆曲线有了极深的了解；它是融合两个数论的主流——自守形式和椭圆曲线——而迸发出来的火花。值得一提的是，最近十多年来，椭圆曲线在编码理论中发展迅速，而编码理论将会在计算机科学中大派用场，其潜力不可估量。
做学问需要哲学的指导
我从10岁起就听父亲讲哲学，里面有很多抽象的概念，他又常常说要找规律。久而久之，我对抽象的观念便比较容易接受了。数学里面也有很多抽象的观念，我的同学对此感到困难，但对我来说，那是很自然的事。从哲学的角度思考、寻找大自然中的规律，以及从宏观的角度看问题，这套思考方法我很早便养成了。我也在很早的时候，便从读历史中领悟到一种方法，那就是必须总结历史教训，回望过去，放眼将来。所以在数学研究中，我非常重视大数学家的看法。可惜很多数学家不愿意这样去做，他们忽视古代伟人的思想，其实就算三四百年前的伟大数学家，如费马、牛顿、欧拉等人，他们的思想仍然影响到今天。我们不去深究融汇他们的思想，这是很不幸的。我在求真书院花了很多气力讲数学史，就是这个缘故。我希望学生学习数学史，让他们晓得伟大数学家的想法是怎么来的，从而思考他们以后的路要怎么走，我在培养这种文化。很多学生因为数学史无助于解题，也无功于考试，就不想学，但其实数学史最终会变得重要，只是短期内看不到而已。要知道大学者的成功，都和他们善于学习前人有关。牛顿说他是站在巨人的肩膀上，这是实实在在的。假如我们不了解巨人们想过什么、做过什么的话，我们能不能站在巨人的肩膀上，恐怕很成问题。
我从小就听父亲讲哲学史，所以对哲学留下深刻的印象。哲学始终是一门指导科学的学科，从古希腊开始，数学就是哲学的一部分。2600年以前，希腊数学的始祖首先都是哲学家，他们用哲学的观点来推动数学的发展。在哲学出现以前，数学没有办法推进，因为缺乏推导的方法。古希腊人提出了“三段论证”，使我们懂得如何用逻辑的方法推导定理，这些都是从哲学的看法开始的。不只如此，哲学是一门很宏观的学问，它不单研究一个个小问题，也研究哲学跟其他学科的关系，从这些关系中走出一条新的思路和方法。这一点对于数学家和理论物理学家都很重要。基本上，理论科学都与哲学有着密切的关系，能够沟通融汇两者，才能成为一个伟大的科学家，从古至今都是如此。当年的阿基米德、牛顿、费马、高斯、黎曼、麦克斯韦、爱因斯坦，他们的成就都与哲学有很密切的关系。对于以科学的眼光看世界，他们有不同的哲学观点。例如，牛顿说时空是静态的，人们就这种观点辩论了很久。光是粒子还是波，这个问题也从哲学的观点有很多讨论。他们从哲学的观点讨论时，也加上了很多重要的实验观点。数学研究也包含许多哲学的看法。在代数几何或者其他领域之中，存在很多不同的看法，微分几何也是如此，种种不同的看法牵引着整个学科的发展。举例来说，我做的一个重要方向叫几何分析，它是我跟一些朋友和学生发展出来的。几何分析包含了很重要的哲学观念，例如在研究几何的时候，不能单用线性的看法，要多用非线性的观点。这些基本上都是与哲学有关的，有些讨论最初不见得跟数学有直接关系，但是到最后又跟数学产生了密切的联系。数学的大发展也因此产生，每一次数学的跳跃总是伴随着哲学观点的变化。譬如在20世纪初期，几何的研究主要是跟拓扑学有关；到了20世纪中期，几何跟非线性微分方程的关系变得密切，人们见证了里程碑式的发展，很多重要的问题因而得到解决。这一点非常重要，每一位大数学家都有他独特的对学问的看法。
高斯。
我在普林斯顿高等研究院的时候，芸芸高手中有一个叫安德烈·韦伊（André Weil）。这位老先生对数学有很深入、很宏大的看法，我的导师陈省身就受他的影响，开始研究纤维丛，提出了“陈氏示性类”的概念。
1980年，我在普林斯顿高等研究院的同事罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）是数论方面的大家。他提出的朗兰兹纲领（Langlands Program）很有名，从表示论来看数学，来看数论。朗兰兹纲领提出了差不多有50年，它是一个看法，而不是一个数学定理。这个看法影响到今天，产生了一系列重要的发展，如费马大定理的解决，就跟朗兰兹的看法有着密切的关系。所以这是一个宏大的构想，也是一个宏大的哲学思想。这些思想是数学上的，但也受到物理和其他学科的影响。
表示论利用线性变换和矩阵来研究抽象代数结构。
当年，笛卡儿是哲学家，也对数学有很重要的贡献。在他之后还有莱布尼茨，他和牛顿独立地创造了微积分，但他最重要的贡献还是在哲学上。柏拉图也是数学家，同时是伟大的哲学家。所以，哲学跟理论科学是分不开的。没有哲学的指导，我们走的方向可能会很狭窄，只能够跟在人家后面。研究科学要有宏观的看法，而宏观的看法主要是由哲学来开拓的。
我之前整理出版了父亲的哲学著作《丘镇英先生哲学史讲稿》。书里面讲得很清楚，我们要弄懂哲学思想的起源、变化，以及如何批判它，这三点对于做学问非常重要。在这本书的开篇，父亲引用了《文心雕龙·诸子篇》中的一句话，我至今都记得很清楚：
标心于万古之上，而送怀于千载之下。
“标心于万古之上”是说，我们的胸怀要像古代圣贤一样。这里的圣贤既可以是孔子和孟子，又可以是我刚才提到的高斯和黎曼这些大数学家。“送怀于千载之下”，是说我们的抱负要远大，志在留名后世。
父亲还写了几副我印象非常深刻的对联，其中一副是：
寻孔颜乐处，拓万古心胸。
“寻孔颜乐处”即继承孔子和颜渊做学问的乐趣。孔子和颜渊都经历过穷苦日子，孔子还带了一大批优秀的学生。他们能体会做学问的大乐趣。“拓万古心胸”是讲心胸要宽广，看得高远。
这几句话对我一辈子产生了很重要的影响。在面对困难的时候，它激发了我的斗志，让我无所畏惧。我不追求阔气的大房子以及豪华的装潢。如果需要日升策略，我有很多非常有钱的朋友愿意帮忙，但我并不特别在乎这些事情。我活了七十多年，感到很舒适，能够自由自在做自己的学问，带领一批才华横溢的学生，这实在是美妙的人生经验。尤其是我在少年班见到了一些初中生，他们初露头角，前途无限。我很喜欢和年轻人在一起，希望他们能够迅速成长，成为光芒万丈的学者。
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